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江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考高二数学试题命题人：张水菊 审题人：陈琦 供卷人：福佑崇文阁一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 设函数在处可导，且，则（　　）a. b. c. 1 d. －12. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）a. 0.3 b. 0.4 c. 0.5 d. 0.63. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( )a. b. c. d. 4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件a，b存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）a. b. c. d. 5. 某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩x（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附:，.a. 3413 b. 1587 c. 8413 d. 68266. 的展开式中的系数为（ ）a. -200 b. -120 c. 120 d. 2007. 已知随机变量的分布列如图：若，则（    ） 0 1 a. b. c. 或 d. 或8. 已知 ，则（   ）a. b. c d. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9. 下列说法正确是（ ）a 若随机变量服从正态分布，且，则b. 一组数据的第60百分位数为14c. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强d. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－410. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）a. b. c. d. 11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）a. 直线与平面所成的角的正弦值为b. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为c. 若，则的最小值为d. 若点在上，点在上，则的长度最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目x的方差为__________．13. 已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.14. 如图，经过边长为1正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______．四、解答题（本大题共6小题，共77分）15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项．16. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73（1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.参考数据及公式：，.设，则，.17. 如图，点c是以ab为直径的圆o上异于a，b的点，平面平面abc，△pac是边长为2的正三角形.（1）求证：平面pac；（2）若点e，f分别是pc，pb的中点，且异面直线af与bc所成角的正切值为，记平面aef与平面abc的交线为直线l，点q为直线l上动点，求直线pq与平面aef所成角的取值范围.18. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，19. 现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态.（1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；（2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；（3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）.第1页/共1页学科网（北京）股份有限公司$$ 江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考高二数学试题命题人：张水菊 审题人：陈琦 供卷人：福佑崇文阁一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 设函数在处可导，且，则（　　）a. b. c. 1 d. －1【答案】b【解析】【分析】借助导数定义计算即可得.【详解】.故选：b.2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）a. 0.3 b. 0.4 c. 0.5 d. 0.6【答案】d【解析】【分析】根据两点分布的期望即可求解.【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，．故选:d．3. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据空间向量共面定理求解即可.【详解】因为四点共面，且，所以，解得.故选：d4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件a，b存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案.【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，，，则.故选：c5. 某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩x（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附:，.a. 3413 b. 1587 c. 8413 d. 6826【答案】c【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出，求出参加数学测试的总人数即可求出及格人数.【详解】依题意，这次数学测试的平均分，标准差，则，参加数学测试的总人数为，又，所以本次考试成绩及格的人数大约为.故选：c6. 的展开式中的系数为（ ）a. -200 b. -120 c. 120 d. 200【答案】b【解析】【分析】两项乘积的二项展开式问题，先求后面括号的通项，再令和时分别求出系数，再相加即可.【详解】后面括号内的通项为，所以当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即，此时系数为；当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即，此时系数为；所以展开式中 的系数为，故选：b.7. 已知随机变量的分布列如图：若，则（    ） 0 1 a. b. c. 或 d. 或【答案】c【解析】【分析】由离散型随机变量的期望、方差的计算公式及其性质构造出与、有关方程组即可得解.【详解】由题意可得，即，则，则，化简得，即，解得或，则或，则或.故选：c.8. 已知 ，则（   ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意构造函数，结合导数讨论其单调性可得，对a：由结合对数运算即可得；对b：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得；对c：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得；对d：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得.【详解】因为，即，令，则有，则，令，则，令，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以恒成立，故单调递减；所以，即；对a：，故a错误；对b：设，则，故在上单调递增，所以，所以，因为，所以，故b正确；对c：，即，设，则，由 ，所以单调递增．因为，所以，故c错误；对d：，即，令，则，因为，所以为偶函数，所以即为．则，令，则，所以单调递增，又，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，当时，，故d错误.故选：b.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造新函数，结合导数研究函数的单调性从而得到所需的不等关系，需构造函数、、以及.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9. 下列说法正确的是（ ）a. 若随机变量服从正态分布，且，则b. 一组数据的第60百分位数为14c. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强d. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4【答案】acd【解析】【分析】根据正态分布概率性质计算判断a，由百分位数定义计算判断b，根据相关系数的概念判断c，把中心点代入回归方程求解后判断d．【详解】选项a，由已知，因此，a正确；选项b，总共有10个数，由于，因此第60百分位数为，b错；选项c，线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强，越接近0，两个变量的线性相关性越弱，c正确；选项d，由已知，解得，d正确．故选：acd．10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）a. b. c. d. 【答案】bd【解析】【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证a，对表达式求导即可验证b，换元并使用二项式定理即可验证c，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证d.【详解】由已知有，故，.所以.对于a，取得，取得，所以，a错误；对于b，对求导得，取得，b正确；对于c，在中用替换，得.所以，特别地对有，c错误；对于d，由有.中取得，所以，d正确.故选：bd.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果.11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）a. 直线与平面所成的角的正弦值为b. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为c. 若，则的最小值为d. 若点在上，点在上，则的长度最小值为【答案】bcd【解析】【分析】对于a，根据线面角的向量求法进行计算求解即可；对于b，根据异面直线夹角的向量求法进行计算求解即可；对于c，先求出点轨迹，再根据向量的运算律将所求向量进行转化，结合定点到圆上一点距离最小值求法进行计算求解；对于d，将问题转化为求异面直线的距离，结合其计算公式进行求解即可.【详解】对于a，对于正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则，设平面的法向量为，所以，令，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为，故a错误；对于b，如图所示， 则，则，所以直线和夹角余弦值为，故b正确；对于c， 因为平面，平面，所以，又因为，所以，所以在以为圆心，为半径的圆上（正方形内的部分），取的中点，则，由于，所以，则的最小值为，故c正确；对于d，若点在上，点在上，则的长度最小值即异面直线和的距离， 设为直线和的法向量，又因为，则，令，则，所以异面直线和的距离为，即的长度最小值为，故d正确.故选：bcd【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：（1）定理法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目x的方差为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，由二项分布的方差公式求解即可得.【详解】任一时刻占线的分机数目为x，每个分机在每一时刻占线的概率为，因为各个分机是否占线是相互独立的，所以，故任一时刻占线的分机数目x的方差为．故答案为：.13. 已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.【答案】【解析】【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化关于不等式，然后利用单调性即可求解．【详解】设，则 ，因为，，所以，可得在上单调递增，不等式，即，即，所以，因为在上单调递增，所以，解得：，所以不等式的解集为：，故答案为：．14. 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______．【答案】【解析】【分析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，以点为原点建立空间直角坐标系，设球心，利用向量法求出球心到平面的距离进而可得出答案.【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设球心，故，设平面的法向量为，则有，可取，则球心到平面的距离为，因球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得，所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.故答案为：.【点睛】方法点睛：求点到平面距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.四、解答题（本大题共6小题，共77分）15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有有理项．【答案】（1）证明见解析 （2）和【解析】【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出，再写出展开式的通式，令的次数为计算即可；（2）求出使的次数为整数的，然后代入展开式的通式计算即可.【小问1详解】由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得（舍去）或的展开式的通式为令，得故展开式中没有常数项；【小问2详解】令，则，，展开式中的有理项为和16. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73（1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.参考数据及公式：，.设，则，.【答案】（1） （2）拟合效果符合要求，理由见解析【解析】【分析】（1）设，根据数据计算，根据最小二乘法公式计算即可；（2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和判定结果即可.【小问1详解】根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：，，设，则，所以，则，.所以，回归方程为.【小问2详解】将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，则残差平方和为.因为，所以回归方程拟合效果符合要求.17. 如图，点c是以ab为直径的圆o上异于a，b的点，平面平面abc，△pac是边长为2的正三角形.（1）求证：平面pac；（2）若点e，f分别是pc，pb的中点，且异面直线af与bc所成角的正切值为，记平面aef与平面abc的交线为直线l，点q为直线l上动点，求直线pq与平面aef所成角的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由c是以ab为直径的圆o上异于a，b的点，得到，再根据平面平面abc，利用面面垂直的性质定理证明；（2）易得，即，设平面平面，从而，以c为坐标原点，ca，cb所在直线分别为x轴，y轴，过c且垂直于平面abc的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面aef的一个法向量为，由求解.【小问1详解】证明：因为c是以ab为直径的圆o上异于a，b的点，所以，又平面平面abc，且平面平面，平面abc，所以平面pac；【小问2详解】由e，f分别是pc，pb的中点，连结ae，ef，所以，由（1）知平面pac.又平面pac，所以，所以，所以在中，∠afe就是异面直线af与bc所成的角.因为异面直线af与bc所成角的正切值为，所以，即，又平面aef，平面aef，所以平面aef，又平面abc，平面平面，所以，所以在平面abc中，过点a作bc的平行线即为直线l.以c为坐标原点，ca，cb所在直线分别为x轴，y轴，过c且垂直于平面abc的直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，从而，由已知e，f分别是pc，pb的中点，所以，则，，，所以，，所以，，因为，所以可设，平面aef的一个法向量为，则，取，得，又，则.设直线pq与平面aef所成角为，则.所以直线pq与平面aef所成角的取值范围为.18. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）函数在上单调递增 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案；（2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证.【小问1详解】函数的定义域为，，记，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，所以函数在上单调递增；【小问2详解】原不等式为，即，即证在上恒成立，设，则，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在时，有成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度.19. 现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态.（1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；（2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；（3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）.【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】（1）根据条件概率计算公式求得正确答案.（2）根据独立事件概率计算公式求得.（3）根据独立重复事件概率计算公式求得停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为可能取值的概率，然后根据期望公式求解即可【小问1详解】记事件a：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变，则，，所以【小问2详解】记事件：两个粒子经过1号门后均旋转，则，【小问3详解】，，，，……，，，两式相减可得，所以.【点睛】关键点点睛： 本题考查了条件概率求解及分布列的定义及数学期望，解题的关键是利用错位相减法化简数学期望，要注意运算的准确性.第1页/共1页学科网（北京）股份有限公司$$